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19世纪微积分的定义
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。 极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。
历史发展不同：微分的历史比积分悠久。希腊时期，人类讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念是微分的来源基础。而积分是由德国数学家波恩哈德·黎曼于19世纪提出的概念。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。
函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限。17世纪后半叶，英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼兹，总结和发展了几百年间前人的工作，建立了微积分，但他们的出发点是直观的无穷小量，因此尚缺乏严密的理论基础。
对微积分发展做出贡献的5-7位数学家?
乔治·贝克莱 17世纪，数学工具微积分一问世，就显示出它锐利无比的非凡威力，许多疑难问题都变得易如反掌。但是，微积分理论的创立是不严格的，对作为基本概念的无穷小量的理解和运用也是混乱不清的。因而，微积分从诞生时起就遭到了一些人的反对，而贝克莱就是反对者之一。
对微积分做出贡献的数学家有牛顿、莱布尼茨、约瑟夫·拉格朗日、黎曼、柯西、乔治·贝克莱等。扩展知识：微积分的历史 公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积，球和球冠面积，螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。十七世纪的许多著名的数学家，天文学家，物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马，笛卡尔，罗伯瓦，笛沙格。英国的巴罗，瓦里士。
德国数学家莱布尼茨，微积分理论的开路人和微积分符号发明者。法国数学家柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻画，后经魏尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义。当今所有微积分的教科书都还（至少是在本质上）沿用着柯西等人关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义。
他还提出了导数和积分的定义和计算方法，并发明了一些重要的数学工具，如幂级数等。总之，牛顿、莱布尼茨、贝克莱和柯西这四位伟大的数学家和科学家为微积分的创立和发展做出了杰出的贡献。他们的成果和贡献为现代数学和物理学的发展奠定了坚实的基础，也对人类文明的发展产生了深远的影响。
天才数学家——柯西 柯西（Cauchy， 1789—1857）是法国数学家、物理学家、天文学家。19世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支，内容丰富，应用非常广泛。与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。
欧洲两大哲学思想是什么?
唯理论：也称理性主义。它否认理性认识依赖于感性经验，认为对事物本质的认识，是有赖于天赋理念或天赋的思维形式进行推理的结果。笛卡尔是近代唯理论的代表，他提出“天赋观念”说和“我思故我在”的命题，认为一切真知都是由简单自明的观念演绎出来的。理性知识是可靠的，感觉是会欺骗我们的，是靠不住。
思想：在康德所处的时代，欧洲哲学思想主要有两种重要理论：由洛克、休谟等人发展出来的经验主义，以及笛卡儿等人的理性主义。经验主义者认为人类对世界的认识与知识来源于人的经验，而理性主义者则认为人类的知识来自于人自身的理性。而康德则在一定程度上接合了两者的观点。
欧洲三大思潮是指：人本主义、马克思主义和理性主义。其中理性主义是建立在承认人的推理可以作为知识来源的理论基础上的一种哲学方法。一般认为是由笛卡尔的理论而产生的。
在西方哲学史上，有两个主要的理论流派：经验主义（或经验论）和理性主义（或唯理论）。尽管它们在整体上存在错误，但各自在认识论领域具有一定的真理，反映了不同时期的思想特征。
直至现代西方两大哲学思潮，即科学主义和人本主义，还与经验论和唯理论有着某种思想渊源的关系。反映在教育上的实质教育和形式教育，心理学上的行为主义与认知主义，也同经验论和唯理论有着密切的关系。 （一）、经验论：也称经验主义。培根是其主要代表人物，马恩称他是“英国唯物主义和整个现代试验科学的始祖”。
世纪的欧洲哲学界，认识论问题占据突出的地位，并形成了以莱布尼茨为代表的唯理论和以休谟为代表的经验论两大认识论派别。
对微积分产生深远意义的悖论
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
危机二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。危机三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S属于S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。
微积分的诞生为哲诺的运动悖论提供了答案，它揭示了无限细分的可能，使得有限的旅程得以实现，证明了时间和空间的连续性并非绝对的限制。罗素的集合论挑战 罗素悖论以集合论的形式出现，通过公理化的方法，如ZF集合论，我们设定了严格的规则，避免了集合自我包含的逻辑陷阱，确保了数学的严谨性。
贝克莱悖论 在17世纪，牛顿和莱布尼兹各自都独立创立了微积分，但是两人对微积分中“无穷小量”的定义不明确，导致了后来的第二次数学危机。
著名的古希腊诡辩家芝诺提出的四大悖论是第二次数学危机的另一导火线，芝诺悖论是对于微积分中连续与离散以及无穷小的逻辑意义提出的问题。（你在有关数学史的书籍中就能查到详尽的背景，至于意义，从不同的层面讲它有多方面的意义。但总的来说，它对数学的发展起了巨大的推动作用。
年，大主教贝克莱在《分析学者》一书中对微积分提出了质疑，指出了牛顿理论中的悖论——流数实际上为0/0，这是基于错误推理的结果，贝克莱称之为“贝克莱悖论”。这一悖论引发了数学史上的第二次危机，引发了长达200多年的微积分基础理论的深刻讨论。
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